Probabilidade no Enem: como contar resultados e escolher a operação

O maior desafio da probabilidade costuma vir antes da divisão: contar resultados que representam o mesmo tipo de escolha.

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Comece pela situação que está sendo sorteada

Probabilidade mede a chance de um evento dentro de um modelo. Quando os resultados elementares têm a mesma chance, calculamos probabilidade = quantidade de resultados favoráveis ÷ quantidade de resultados possíveis. A divisão é simples; o cuidado está em identificar o que conta como resultado e quais condições já foram impostas.

Uma urna contém três fichas azuis e duas amarelas, todas fisicamente iguais e misturadas para um sorteio sem preferência. Retirar uma ficha oferece cinco resultados elementares, correspondentes às cinco fichas. Três deles são azuis. A probabilidade de azul é 3 ÷ 5 = 60%. Há somente duas cores, mas isso não significa que as cores tenham chances iguais.

Os problemas e números apresentados aqui são exemplos autorais. Em uma prova, use o mecanismo descrito no enunciado. Sorteio entre pessoas, escolha entre grupos e escolha entre objetos não são operações equivalentes. Se o processo favorece algum resultado, contar categorias e dividir pelo total de categorias pode dar uma resposta incorreta.

Espaço amostral e evento em linguagem simples

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Evento é o conjunto dos resultados que atendem ao pedido. Ao lançar um dado comum equilibrado, o espaço é 1, 2, 3, 4, 5, 6. O evento “número maior que 4” contém 5 e 6, portanto sua probabilidade é 2 ÷ 6 = 1 ÷ 3.

As palavras delimitam o evento. “Maior que 4” exclui o 4; “pelo menos 4” inclui 4, 5 e 6; “no máximo 4” inclui 1, 2, 3 e 4. Em uma contagem com várias etapas, “exatamente um” exclui dois ou mais, enquanto “ao menos um” aceita todas essas possibilidades. Reescreva o pedido com os resultados que satisfazem a condição.

Uma probabilidade fica entre 0 e 1, ou entre 0% e 100%. Zero representa impossibilidade no modelo e um representa certeza. Um resultado de 1,2 ou 120% indica erro na contagem ou na operação. Mas estar dentro dessa faixa não comprova o cálculo: dividir pelo universo errado também pode produzir um número aparentemente plausível.

Duas etapas: monte uma lista ou uma árvore

No lançamento de duas moedas equilibradas e independentes, registre a ordem: cara-cara, cara-coroa, coroa-cara, coroa-coroa. São quatro resultados equiprováveis. O evento “exatamente uma cara” contém dois deles, logo a chance é 2 ÷ 4 = 1 ÷ 2. Se você escrever apenas “duas caras, uma cara, nenhuma cara”, contará três categorias que não possuem a mesma chance.

Uma árvore resolve a organização. Primeiro surgem os ramos cara e coroa. De cada um saem novamente cara e coroa. Cada caminho completo representa uma sequência. Multiplique as probabilidades ao longo de um caminho; some as probabilidades dos caminhos diferentes que atendem ao evento, quando eles não podem acontecer simultaneamente.

Em dois dados equilibrados e independentes, há 6 × 6 = 36 pares ordenados. A soma 7 aparece em seis pares: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1. Sua probabilidade é 6 ÷ 36 = 1 ÷ 6. As somas de 2 até 12 são onze possibilidades, mas não são onze resultados com igual chance.

Quando multiplicar: uma etapa seguida de outra

A regra geral para ocorrer A e depois B é P(A e B) = P(A) × P(B dado A). Em palavras: chance da primeira condição multiplicada pela chance da segunda depois de considerar o que já aconteceu. Esse segundo fator não é necessariamente a probabilidade inicial de B. O experimento pode ter mudado após a primeira etapa.

Se uma moeda equilibrada e um dado equilibrado forem usados de maneira independente, a chance de cara e número par é 1 ÷ 2 × 3 ÷ 6 = 1 ÷ 4. Saber o resultado da moeda não altera a chance das faces do dado. Por isso é possível multiplicar as probabilidades individuais.

A palavra “e” ajuda a reconhecer uma interseção, mas não dispensa pensar no processo. Em um único lançamento de dado, “par e maior que 3” corresponde às faces 4 e 6, com chance 2 ÷ 6. Multiplicar automaticamente 3 ÷ 6 por 3 ÷ 6 produziria 1 ÷ 4, embora os dois eventos não sejam independentes nesse caso.

Reposição muda o segundo sorteio

Volte à urna com três fichas azuis e duas amarelas. Para retirar duas azuis sem reposição, a primeira chance é 3 ÷ 5. Depois de uma azul sair, restam duas azuis entre quatro fichas. A segunda chance, nessa condição, é 2 ÷ 4. O produto é 6 ÷ 20 = 3 ÷ 10 = 30%. O denominador e o número favorável mudaram.

Com reposição, a ficha volta à urna e a mistura é refeita antes da próxima retirada. Mantidas as mesmas condições aleatórias, as duas chances são 3 ÷ 5. A probabilidade de duas azuis passa a 9 ÷ 25 = 36%. Portanto, esquecer se o objeto retorna não é um detalhe: altera o modelo.

Sem reposição, a chance de uma azul e uma amarela, em qualquer ordem, exige dois caminhos. Azul depois amarela: 3 ÷ 5 × 2 ÷ 4 = 3 ÷ 10. Amarela depois azul: 2 ÷ 5 × 3 ÷ 4 = 3 ÷ 10. Somando, obtemos 3 ÷ 5 = 60%. A pergunta não fixou a ordem, por isso ambos entram na resposta.

Quando somar: o “ou” pode ter sobreposição

Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, some suas probabilidades. Em um dado, obter 1 ou 6 tem chance 1 ÷ 6 + 1 ÷ 6 = 1 ÷ 3. Não existe um resultado que seja simultaneamente 1 e 6 nesse mesmo lançamento. Esses eventos são chamados de mutuamente exclusivos ou incompatíveis.

Se existe sobreposição, a regra é P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B). No dado, A = número par contém 2, 4 e 6; B = número maior que 4 contém 5 e 6. Somar as frequências dá cinco, mas o 6 entrou duas vezes. O total correto é 3 + 2 − 1 = 4 resultados, com probabilidade 4 ÷ 6 = 2 ÷ 3.

Em matemática, “A ou B” normalmente inclui o caso em que ambos acontecem. Se o enunciado disser “apenas um dos dois”, ele pede outra seleção: excluir a interseção. Nesse exemplo, somente par ou somente maior que 4 inclui 2, 4 e 5, com chance 3 ÷ 6. Leia a expressão inteira antes de adotar uma regra.

Independentes e incompatíveis são ideias diferentes

Eventos independentes são aqueles em que saber que um ocorreu não muda a probabilidade do outro. Eventos incompatíveis são aqueles que não podem ocorrer juntos. Cara na primeira moeda e cara na segunda podem acontecer simultaneamente e são independentes sob as condições do modelo. Já face 1 e face 6 no mesmo dado são incompatíveis.

Se dois eventos incompatíveis têm probabilidade positiva, não são independentes. Ao saber que saiu 1, a chance de ter saído 6 naquele lançamento vira zero. Isso muda a informação disponível. A independência não depende de os nomes dos eventos parecerem diferentes: depende da relação entre suas probabilidades.

Também não confunda independência com igualdade de chances. Um evento pode ter chance 20% e outro 70%, ainda assim serem independentes. Por outro lado, dois eventos com chances de 50% podem ser dependentes. O teste conceitual é sempre perguntar se a condição altera o universo ou a chance do segundo evento.

“Pelo menos um”: muitas vezes o complemento é menor

O complemento de um evento contém tudo o que não atende a ele. Como evento e complemento cobrem o espaço inteiro sem sobreposição, suas probabilidades somam 1. Assim, chance de ao menos um sucesso = 1 − chance de nenhum sucesso. Essa escolha evita somar muitos caminhos separados.

No lançamento de três moedas equilibradas e independentes, há oito sequências. Para obter ao menos uma cara, seria necessário contar as sequências com uma, duas ou três caras. Pelo complemento, só existe um caso sem cara: três coroas. Sua chance é (1 ÷ 2)³ = 1 ÷ 8. A resposta desejada é 1 − 1 ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 87,5%.

Atenção ao complemento correto: o contrário de “ao menos uma cara” é “nenhuma cara”. O contrário de “exatamente uma cara” inclui nenhuma, duas ou três caras. Nesse segundo problema, há três posições possíveis para a cara entre duas coroas, portanto a chance é 3 ÷ 8. A frase aparentemente parecida exige uma contagem diferente.

Probabilidade condicional: o denominador muda

Uma turma fictícia tem 40 estudantes. Desses, 24 participam de um grupo de leitura e 16 não participam. Entre os participantes, 10 usam bicicleta. Se a pergunta escolhe uma pessoa entre as que participam do grupo, a chance de usar bicicleta é 10 ÷ 24 = 5 ÷ 12. Os 16 que não participam ficaram fora do universo da escolha.

Se a pergunta escolhe alguém entre os 40 estudantes e pede que participe do grupo e use bicicleta, a chance é 10 ÷ 40 = 1 ÷ 4. Os mesmos dez casos favoráveis aparecem nas duas perguntas; o que muda é a condição da seleção. Essa diferença explica por que calcular uma fração sem nomear o denominador pode ser perigoso.

A notação P(A dado B), frequentemente escrita P(A|B), significa chance de A quando sabemos B. Sua fórmula é P(A e B) ÷ P(B), desde que P(B) seja maior que zero. Em tabelas, muitas vezes basta contar dentro da linha ou coluna definida pela condição. A fórmula organiza a mesma restrição de universo.

Não inverta a condição: um exemplo de classificação

Exemplo autoral: entre 100 peças de uma fábrica, 20 estão defeituosas e 80 estão adequadas. Um equipamento sinaliza 18 das defeituosas e também 8 das adequadas. A chance de sinalizar uma peça defeituosa, sabendo que ela é defeituosa, é 18 ÷ 20 = 90%. Mas a chance de uma peça sinalizada ser defeituosa é 18 ÷ 26, aproximadamente 69,2%.

A segunda pergunta considera todas as peças sinalizadas: 18 defeituosas mais 8 adequadas. Não considera apenas as defeituosas. Esse exemplo mostra que P(sinal dado defeito) e P(defeito dado sinal) não são a mesma coisa. A ordem da informação importa, mesmo quando as palavras usadas parecem iguais.

Uma tabela com quatro grupos ajuda: defeituosas sinalizadas, defeituosas não sinalizadas, adequadas sinalizadas, adequadas não sinalizadas. Preencha as quantidades antes de dividir. O treino dessa leitura é útil sempre que a questão combina classificação, escolha de subgrupo ou informações que mudam a base da porcentagem.

Contagem: a ordem importa ou só o grupo?

Para formar uma senha de três algarismos entre 0 e 9, com repetição permitida e aceitando zero no início, existem 10 × 10 × 10 = 1.000 sequências. Sem repetição, seriam 10 × 9 × 8 = 720. Se for um número de três algarismos, zero não pode ocupar a primeira posição. Nesse caso, sem repetição, a contagem vira 9 × 9 × 8 = 648.

Agora escolha dois representantes entre seis estudantes, sem cargos diferentes. A contagem 6 × 5 = 30 registra cada dupla duas vezes: Ana e Bruno, Bruno e Ana. Como a dupla é a mesma, divida por 2 e obtenha 15 grupos. Se existirem os cargos de presidente e vice, as duas ordens representam resultados diferentes e os 30 arranjos ficam válidos.

A combinação de n elementos tomados k a k conta grupos sem importar a ordem: C(n,k) = n! ÷ [k! × (n − k)!]. O símbolo ! significa fatorial: por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1. Use a fórmula depois de entender o tipo de escolha. Listar grupos pequenos e verificar repetições costuma ser mais instrutivo que começar pelo nome da fórmula.

Usar combinações na probabilidade sem misturar modelos

Na urna de três fichas azuis e duas amarelas, retirar duas fichas sem reposição e sem considerar ordem produz C(5,2) = 10 pares de fichas. Para duas azuis, existem C(3,2) = 3 pares favoráveis. A probabilidade é 3 ÷ 10, a mesma obtida pelos caminhos ordenados. Para uma de cada cor, há 3 × 2 = 6 pares favoráveis e chance 6 ÷ 10.

O numerador e o denominador precisam usar o mesmo modelo. Se você contar três pares azuis sem ordem, não pode dividir por vinte sequências ordenadas. Essa mistura corta a chance pela metade. Tanto a árvore quanto as combinações funcionam; a consistência entre favoráveis e possíveis é que sustenta a resposta.

Em uma sequência de quatro tentativas independentes, com chance de sucesso 1 ÷ 4 em cada uma, a chance de exatamente dois sucessos é C(4,2) × (1 ÷ 4)² × (3 ÷ 4)² = 6 × 9 ÷ 256 = 27 ÷ 128, aproximadamente 21,1%. O fator seis representa as posições possíveis dos dois sucessos, sem repetir a mesma sequência.

Conferência e treino que revelam compreensão

Confira se todas as probabilidades dos ramos que saem de um mesmo ponto somam 1. Na urna sem reposição, depois de retirar uma azul, a chance de outra azul é 2 ÷ 4 e a de amarela é 2 ÷ 4. Depois de retirar uma amarela, os ramos são 3 ÷ 4 e 1 ÷ 4. Cada etapa respeita o novo conjunto disponível.

Para testar o raciocínio, resolva três perguntas sobre a mesma urna: duas azuis, uma de cada cor e duas amarelas. Sem reposição, as chances são 3 ÷ 10, 6 ÷ 10 e 1 ÷ 10. A soma é 1 porque essas três categorias cobrem todos os pares possíveis sem sobreposição. Se o total não fechar, procure um caminho esquecido ou contado duas vezes.

Por fim, separe chance de garantia. Uma probabilidade de 60% não obriga seis sucessos em dez tentativas, nem cria uma dívida de sucesso depois de fracassos anteriores em experimentos independentes. No estudo, o objetivo é explicar o universo, o evento e a condição. Quando essas três peças estão corretas, a conta passa a ser uma consequência do modelo.