Função quadrática no Enem: gráfico, raízes, vértice e problemas resolvidos

A ideia que organiza toda função quadrática

Uma função quadrática é uma regra que pode ser escrita como f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. O x representa a entrada e f(x), ou y, representa a saída. O termo x² faz a curva deixar de ser uma reta: o gráfico é uma parábola. No Enem, essa expressão costuma aparecer como modelo de uma área, uma trajetória, um custo, uma receita ou outra relação entre grandezas. A tarefa não é apenas aplicar uma fórmula. É descobrir o que cada variável mede, qual intervalo faz sentido e qual decisão o resultado permite tomar.

Os três coeficientes têm papéis diferentes. O número a controla a abertura e o sentido da parábola: se a é positivo, ela abre para cima; se a é negativo, abre para baixo. O coeficiente b desloca a posição do ponto de virada junto com a, e c é f(0), o ponto em que o gráfico cruza o eixo vertical. Trocar o sinal de a muda mínimo para máximo ou máximo para mínimo. Trocar unidades ou o significado de x também muda a leitura, mesmo quando a conta algébrica permanece correta.

A matriz de referência do Inep inclui gráficos e funções entre os conhecimentos algébricos e valoriza interpretar relações em situações problema. Ela é uma referência de habilidades, não uma lista que permita prometer frequência de um tema ou nota por acertos. Os exemplos deste guia são autorais. Eles ensinam o raciocínio que pode ser transferido para uma questão, sem serem apresentados como itens oficiais.

Antes da conta: traduza as grandezas e o domínio

Comece escrevendo uma frase para cada variável. Em um modelo A(x) = -2x² + 40x, x pode ser o comprimento de um lado em metros e A pode ser a área em metros quadrados. Se uma questão disser que x é quantidade de produtos, x deve ser inteiro e não negativo. Se x for tempo, o domínio pode começar em zero e terminar quando o fenômeno acaba. O domínio é o conjunto de entradas permitidas pelo contexto; não basta aceitar todos os números reais porque a expressão aceita.

A unidade do coeficiente muda conforme a unidade de x. Se x está em metros, x² está em metros quadrados. Para a expressão representar uma área em m², o coeficiente de x² deve ter unidade compatível com a divisão necessária. Em muitos exercícios escolares os números são tratados sem escrever unidades em cada termo, mas você deve colocá-las na conclusão. Um resultado 12 para uma área não é uma resposta completa: diga 12 m², se essa era a unidade da pergunta.

O domínio também decide se o vértice pode ser usado. O ponto de virada pode estar fora do intervalo físico. Nesse caso, a parábola ainda tem um vértice matemático, porém ele não representa o maior ou menor valor possível no experimento. Compare sempre o valor no vértice com os valores nas extremidades do domínio.

Como ler a parábola no gráfico

O vértice é o ponto de mudança de direção. Em uma parábola que abre para cima, ele é o menor valor de y; em uma que abre para baixo, é o maior. A reta vertical que passa por ele é o eixo de simetria. Pontos à mesma distância horizontal desse eixo têm a mesma altura. Essa simetria permite conferir uma leitura: se o eixo é x = 4, os pontos x = 3 e x = 5 devem ter o mesmo y, desde que ambos pertençam ao domínio.

As raízes, ou zeros, são os pontos em que f(x) = 0, isto é, onde a curva cruza ou toca o eixo x. A interseção com o eixo y ocorre em x = 0 e vale c. Uma parábola pode ter duas raízes reais, uma raiz dupla ou nenhuma raiz real. Não confunda raiz com vértice: a raiz tem saída zero; o vértice tem a saída extrema. Uma curva pode ter vértice acima do eixo x e, por isso, nenhuma raiz.

A forma de vértice f(x) = a(x - h)² + k mostra diretamente o ponto (h,k). A forma geral mostra os coeficientes e facilita usar a fórmula de Bhaskara. Aprender a passar de uma forma para outra reduz a dependência de desenho aproximado. Ao observar um gráfico, use os pontos marcados e a escala, não a distância visual entre linhas que podem ter intervalos diferentes.

Eixo de simetria e vértice sem decorar cegamente

Para f(x) = ax² + bx + c, a coordenada horizontal do vértice é h = -b/(2a). Depois calcule k = f(h). A fórmula vem da simetria das raízes e funciona mesmo quando as raízes não são números inteiros. Escreva a e b com seus sinais: em f(x) = -3x² + 12x - 5, a = -3 e b = 12, portanto h = -12/(2 vezes -3) = 2. O sinal negativo da fórmula não pode ser apagado.

Há uma conferência simples. Se o gráfico abre para baixo e você encontrou um mínimo, há incoerência. Se a parábola tem raízes r1 e r2, o eixo deve ficar no ponto médio (r1 + r2)/2. Se você encontrou uma raiz dupla, ela deve coincidir com h. Essas verificações não substituem a conta, mas pegam sinais trocados e divisão errada.

Completar quadrados explica a fórmula sem transformar o estudo em memorização. Em x² + 6x + 5, escreva x² + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)² - 4. O vértice é (-3,-4). Quando a não é 1, coloque o fator antes de completar: 2x² + 8x + 1 = 2(x² + 4x) + 1 = 2[(x + 2)² - 4] + 1 = 2(x + 2)² - 7.

Esse formato mostra a variação em torno do eixo: aumentar a distância de x para h eleva a saída se a for positivo e reduz a saída se a for negativo. Em uma situação de produção, essa leitura ajuda a explicar por que pequenas mudanças antes do ponto ótimo podem ter efeito diferente de mudanças depois dele.

Raízes, fatoração e discriminante

Para encontrar as raízes, iguale a função a zero: ax² + bx + c = 0. Quando a expressão fatora facilmente, use o produto nulo. Em x² - 5x + 6 = 0, (x - 2)(x - 3) = 0, então x = 2 ou x = 3. A fatoração é rápida, mas só vale quando os fatores foram conferidos por multiplicação.

Quando a fatoração não é evidente, use x = (-b mais ou menos raiz de delta)/(2a), em que delta = b² - 4ac. O discriminante antecipa quantas raízes reais existem. Se delta é positivo, há duas raízes reais; se é zero, há uma raiz real dupla; se é negativo, não há interseção real com o eixo x. Isso é uma leitura geométrica, não apenas um teste de sinal.

Exemplo: f(x) = 2x² - 4x + 5. Delta = (-4)² - 4 vezes 2 vezes 5 = 16 - 40 = -24. Como delta é negativo e a é positivo, a parábola abre para cima e permanece acima do eixo x. O valor mínimo confirma: h = 1 e f(1) = 3. Se uma questão pergunta quando a grandeza fica zero, a resposta é que não acontece nos reais, dentro do modelo.

Se delta for uma raiz não exata, mantenha a forma com radical até a última etapa. Arredondar cedo pode deslocar uma decisão de intervalo. Depois de obter as raízes, substitua uma delas na expressão para conferir e examine se elas pertencem ao domínio físico.

Sinais e inequações: a curva responde intervalos

Uma questão pode pedir quando f(x) é positiva, negativa, maior ou igual a certo valor. Primeiro leve tudo para um lado e encontre as raízes da expressão resultante. Com duas raízes r1 menor que r2, uma parábola que abre para cima é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Uma parábola que abre para baixo tem o padrão contrário. Inclua as raízes quando o enunciado usar maior ou igual ou menor ou igual.

Exemplo: f(x) = x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4). Como a é positivo, f(x) menor que zero em 2 < x < 4 e f(x) maior ou igual a zero em x menor ou igual a 2 ou x maior ou igual a 4. Se x representa horas de funcionamento entre 0 e 5, intersecte esses intervalos com [0,5]. O contexto elimina respostas matematicamente possíveis, mas fisicamente impossíveis.

Para comparar com um nível L, resolva f(x) - L = 0. Isso desloca a pergunta para o eixo horizontal: você procura quando a curva está acima ou abaixo da linha y = L. Em um gráfico de temperatura, custo ou concentração, a linha de referência pode ser um limite de segurança. O sinal deve ser interpretado junto da unidade e do sentido de maior ou menor.

Exemplo completo de área com domínio

Uma placa retangular será cercada em três lados por 48 m de tela, aproveitando um muro no quarto lado. Se x é a largura perpendicular ao muro, os dois lados menores consomem 2x e o lado paralelo mede 48 - 2x. A área é A(x) = x(48 - 2x) = -2x² + 48x. O domínio exige x maior que zero e 48 - 2x maior que zero, portanto 0 < x < 24.

O vértice ocorre em h = -48/(2 vezes -2) = 12. A largura de 12 m produz o comprimento 48 - 24 = 24 m e área A(12) = 288 m². Como a é negativo, o vértice é máximo. Não basta dizer que a área máxima é 288: a decisão completa é usar 12 m de largura e 24 m de comprimento, dentro do domínio.

A checagem por valores próximos ajuda: A(10) = 280 e A(14) = 280, simétricos em torno de 12. Nos extremos físicos, a área se aproxima de zero. O modelo supõe medidas contínuas e tela exatamente disponível; se a questão impuser medidas inteiras ou cortes de material, compare os candidatos permitidos e não arredonde o vértice sem verificar.

Exemplo completo de receita e preço

Imagine uma venda em que a quantidade demandada é Q(p) = 800 - 20p, com p em reais e Q em unidades. A receita é preço vezes quantidade: R(p) = p(800 - 20p) = -20p² + 800p. O preço precisa ser não negativo e a quantidade também, então 0 ≤ p ≤ 40. O intervalo vem de Q(p) maior ou igual a zero.

O vértice está em p = -800/(2 vezes -20) = 20. A quantidade nesse preço é Q(20) = 400 e a receita é R(20) = 8.000 reais. Como a é negativo, é um máximo dentro do domínio. O resultado diz qual preço maximiza a receita deste modelo autoral; não promete que um comércio real terá esse comportamento.

A distinção entre receita e lucro é decisiva. Receita é entrada bruta, p vezes Q. Lucro subtrai custos fixos e variáveis. Se a pergunta incluir custo, monte outra função antes de procurar o vértice. Também não confunda preço que maximiza receita com preço que vende mais unidades. O modelo mostra um equilíbrio entre valor por unidade e quantidade vendida.

Máximo ou mínimo condicionado ao intervalo

Uma parábola pode ter vértice fora do domínio. Considere C(t) = t² - 4t + 10 para 5 ≤ t ≤ 9. O vértice matemático está em t = 2, fora do intervalo. Como a é positivo, a função cresce depois de t = 2; portanto o menor valor permitido acontece na extremidade t = 5: C(5) = 15. O maior acontece em t = 9: C(9) = 55.

Quando o intervalo é fechado, compare o vértice se ele estiver dentro e as duas extremidades. Se o intervalo for aberto, uma extremidade pode ser apenas um limite que não é atingido. Em um processo de medição, o domínio pode ser discreto, como x inteiro entre 0 e 10. Então avalie inteiros vizinhos ao vértice, porque x = 3,5 pode não ser uma escolha possível.

Dizer apenas que a é positivo e escolher o vértice é incompleto. O sinal de a informa a tendência global; o domínio informa quais pontos estão disponíveis. Essa combinação é uma das decisões que mais separa uma resolução contextualizada de uma aplicação automática de fórmula.

Unidades, escala e leitura honesta do gráfico

No eixo horizontal, confira se a escala avança de 1 em 1, de 10 em 10 ou em outra unidade. No eixo vertical, leia a unidade escrita na legenda. O ponto (4, 300) pode significar 4 horas e 300 litros, 4 metros e 300 reais ou outras grandezas; coordenadas sem contexto não escolhem a unidade.

Se a imagem mostra apenas parte da parábola, não conclua que o ponto mais alto da janela é o máximo da função inteira. Ele pode ser apenas o maior valor observado no intervalo. Também não estime raízes pela aparência quando há escala truncada ou poucos pontos. Use os valores marcados ou a expressão fornecida.

Uma boa resposta relaciona cálculo e frase: o vértice (12, 288) significa largura de 12 m e área máxima de 288 m² no modelo da placa. A unidade de x não é a mesma de y, e elevar x ao quadrado não autoriza escrever m em vez de m².

Como resolver uma questão no tempo da prova

Leia primeiro o comando final: encontrar valor, intervalo, ponto, medida ou comparação. Depois liste dados, incógnita, unidade e domínio. Escolha a representação mais transparente: fatorada para raízes e sinais, forma de vértice para extremo, forma geral para identificar coeficientes e usar delta. Só então faça a operação.

A etapa de modelagem merece uma linha. Em área, escreva dimensão vezes dimensão; em receita, preço vezes quantidade; em movimento, identifique o que varia com o tempo. Se uma alternativa traz número sem unidade ou fora do domínio, ela pode ser eliminada antes da conta final, mas não substitua a justificativa por uma impressão.

Ao terminar, confira quatro coisas: a unidade, o sinal de a e o tipo de extremo, o domínio e uma substituição simples. Se a resposta fala em duas raízes mas delta foi negativo, pare e corrija. Se o resultado de uma área é negativo, reveja a modelagem ou o intervalo. Essa rotina é curta e reduz erros de pressa.

Erros comuns e como retestar

Erro 1: usar c como máximo ou mínimo. c é apenas f(0), a interseção com o eixo y. Reteste calculando h e comparando f(h) com pontos próximos. Erro 2: esquecer o sinal de b na fórmula do vértice ou de delta. Reteste reescrevendo os coeficientes com parênteses. Erro 3: chamar qualquer ponto alto do desenho de vértice. Reteste procurando a simetria e a escala.

Erro 4: aceitar raízes fora do contexto. Reteste traduzindo cada solução para uma frase: pode existir comprimento negativo, tempo antes do início ou quantidade fracionária? Erro 5: confundir diferença absoluta com porcentagem. Se a questão pedir variação percentual, use (final - inicial)/inicial e declare a base; a parábola não elimina essa regra.

Erro 6: concluir que o vértice é extremo sem olhar o intervalo. Reteste substituindo as extremidades e, se necessário, os inteiros vizinhos. Erro 7: apresentar uma questão autoral como oficial. Reteste a fonte: só atribua número, ano ou incidência quando houver documento identificável. A fonte didática explica matemática; a matriz do Inep sustenta o enquadramento de habilidades, não uma promessa de cobrança.

Treino comentado para consolidar

Treino 1. Para f(x) = -x² + 10x - 21, encontre raízes, vértice e maior valor. Fatorando, f(x) = -(x - 3)(x - 7), então as raízes são 3 e 7. O eixo é o ponto médio, x = 5. f(5) = 4. Como a é negativo, o máximo é 4. A parábola é positiva somente entre 3 e 7.

Treino 2. Uma área é B(n) = -3n² + 18n para 0 ≤ n ≤ 8. O vértice está em n = 3 e B(3) = 27. Como 3 pertence ao domínio e a é negativo, o máximo é 27 unidades quadradas. B(8) = 48 - 192 = -144 seria incompatível com uma área, sinal de que o domínio físico real deveria ser limitado antes desse ponto ou de que o modelo não pode ser usado até 8. Essa leitura crítica é parte da solução: não aceite uma função fora da condição que a torna significativa.

Treino 3. Determine quando g(x) = x² - 2x - 8 é no máximo zero. As raízes são -2 e 4, pois g(x) = (x - 4)(x + 2). A curva abre para cima, logo é menor ou igual a zero no intervalo [-2,4]. Se x for uma distância, descarte a parte negativa e use [0,4]. A resposta muda conforme a grandeza; a álgebra fornece o intervalo bruto e o contexto faz a seleção.

Treino 4. Um gráfico informa vértice (6, -2) e passa por (8, 6). Na forma de vértice, f(x) = a(x - 6)² - 2. Substituindo o ponto, 6 = 4a - 2, então a = 2. A função é f(x) = 2(x - 6)² - 2. As raízes vêm de 2(x - 6)² = 2, portanto x = 5 e x = 7. Esse exercício mostra como um ponto adicional define a abertura.

Checklist final para a sua folha de prova

Escreva a expressão e identifique a, b e c. Diga o que x e y representam e qual é o domínio. Escolha a forma que responde ao comando. Para extremo, use h = -b/(2a) e k = f(h), conferindo o sinal de a. Para raízes, f(x) = 0, fatoração ou Bhaskara e delta. Para sinais, marque as raízes e use o sentido da abertura.

Na conclusão, devolva a grandeza pedida com unidade, arredondamento solicitado e condição do intervalo. Se o resultado for uma decisão, escreva a decisão e o valor que a sustenta. Um bom rascunho permite que outra pessoa refaça a conta sem adivinhar qual número você usou.

A função quadrática deixa de ser uma lista de fórmulas quando você enxerga a história que a curva conta: entradas permitidas, crescimento, ponto de virada, retorno ao zero e limites do modelo. É essa leitura que transforma gráfico e equação em uma ferramenta para resolver situações novas.